Truncamiento y redondeo de números decimales

Aproximación de números decimales.

Cuando se tiene un número decimal con demasiadas cifras, no resulta cómodo, ni deseable trabajar con todas ellas (menos aun si el número de cifras llegase a ser infinito), siendo preferible hacerlo con una versión corta, abreviada o aproximada de ese número; es decir, con una menor cantidad de cifras decimales.

Un conocido ejemplo es el del número π (pi), definido como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (dicho de otra manera, π es el número de veces que el diámetro de una circunferencia está contenido en el perímetro de la misma). A pesar de que, usualmente, se utiliza a 3,14 o a 3,1416 como aproximaciones de π, se trata en realidad de un número irracional, del cual se han podido calcular, hasta la fecha, más de diez billones de cifras. El número π, con tan solamente sus primeras 50 cifras decimales, es:

π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510

Como se entenderá, sería muy incómodo tratar con tal cantidad de cifras y, en su lugar, se toma una aproximación que contenga unas cuantas de ellas, dependiendo de los cálculos requeridos.

La aproximación de un número cualquiera a un número con menos cifras, puede efectuarse de dos formas diferentes: por truncamiento o por redondeo.

Truncamiento.

Se entiende por truncamiento, la reducción del número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando aquellos de menor valor (menos significativos). En otras palabras, si se quiere aproximar un número mediante truncamiento, se deja el número deseado de decimales, quitando los demás.

Ejemplo 1: Aproximar el número π con 6 cifras decimales, mediante truncamiento.
Solución: Se toman las primeras 6 cifras de π, después de la coma, que es el separador decimal,  y se omiten las demás, resultando π=3,141592.

Ejemplo 2: Aproximar el número π con 5 cifras decimales, mediante truncamiento.
Solución: Se toman las primeras 5 cifras de π, después de la coma, obteniéndose π=3,14159.

Ejemplo 3: Aproximar el número π con 4 cifras decimales, mediante truncamiento.
Solución: Se toman las primeras 4 cifras de π, después de la coma, que es el separador decimal,  y se omiten las demás, resultando π=3,1415.

Ejemplo 4: Aproximar el número π con 2 cifras decimales, mediante truncamiento.
Solución: Se toman las primeras 2 cifras de π, después de la coma, obteniéndose π=3,14.

Redondeo.

Mediante el redondeo, también se logra la reducción de dígitos después del separador decimal. Para ello, se siguen dos sencillas reglas:

• Si la primera de las cifras que se suprime es mayor o igual que 5, se aumenta en uno la última cifra que se deja.
• Si la primera de las cifras que se suprime es menor que 5, la última cifra que se deja no varía y queda tal y como estaba.

Ejemplo 1: Aproximar el número π con 6 cifras decimales, mediante redondeo.

Solución: Se revisa la  séptima cifra de π, después de la coma, que es la primera que se omite;  como esta cifra es 6, y 6 es mayor o igual que 5, se aplica la primera regla. En consecuencia, la última cifra que se deja, que es 2, se aumenta en uno y se convierte en 3, quedando π=3,141593.

Ejemplo 2: Aproximar el número π con 5 cifras decimales, mediante redondeo.

Solución: Se revisa la  sexta cifra de π, después de la coma, que es la primera que se omite;  como esta cifra es 2, y 2 es menor que 5, se aplica la segunda regla. Por tanto, la última cifra que se deja, que es 9, permanece sin cambio alguno, siendo π=3,14159.

Ejemplo 3: Aproximar el número π con 4 cifras decimales, mediante redondeo.

Solución: Esta vez se analiza la  quinta cifra de π, después de la coma;  esta cifra es 9, por lo que se aplica la primera regla. La última cifra que se deja, que es 5, se aumenta en uno y se convierte en 6, quedando π=3,1416.

Ejemplo 4: Aproximar el número π con 2 cifras decimales, mediante redondeo.

Solución: La  tercera cifra de π, después de la coma, es 1 y se aplica la segunda regla, dejando inalterada la última cifra que se deja, que es 4; ahora, π=3,14.

Obsérvese que, en algunos casos, la aproximación por truncamiento y la aproximación por redondeo arrojan el mismo resultado; sin embargo, debe recordarse que se trata de dos procedimientos diferentes.

Error en la aproximación.

Al aproximar un número, se introduce un error, debido a la omisión de cifras decimales con respecto al valor exacto, pudiendo ser el error por truncamiento hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo. Este error puede cuantificarse como un error absoluto o como un error relativo.

• Error absoluto: es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación.

Ea = | Vexacto - Vaproximado |

• Error relativo: es el valor absoluto del cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Er = | Ea / Vexacto |

Si se desea conocer el error en forma de porcentaje, deberá multiplicarse por 100%.

Ejemplo 4: Considérese el número 12,435. Calcúlese el error cuando se aproxima por redondeo a dos cifras decimales (después de la coma).

Solución: Una vez redondeado, el número es 12,44. El error absoluto será:

Ea = | 12,435 - 12,44 | = 0,005 o, equivalentemente, 0,5%.

Y el error relativo:

Er = | 0,005 / 12,435 | =0,0004 o, equivalentemente, 0,04%.

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